Слайд 1Основные свойства функций и их графики
Слайд 2Функция. Область определения. Область значений
Пусть X и Y— два множества.
Функция
у=f(х) — это правило или закон f, по которому каждому
числу
ставится в соответствие единственное число .
Слайд 3 Если элементами множеств Х и У являются действительные числа, т.
е.
то функцию называют числовой функцией.
Переменная x называется при этом аргументом или независимой пере-менной, а y – функцией или зависимой переменной. Относительно величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.
– частное значение функции при
Слайд 4 Область определения функции f(х) (D(f(х)) – множество X, т.е. всевозможные
значения независимой переменной х.
Область значений функции f(х) (E(f(х)) – множество,
состоящее из всевозможных чисел f(х) при .
Слайд 5Пример
1)
Область определения
.
Область значений
.
2)
Область определения .
Область значений .
Слайд 6График функции
Графиком функции
является
множество всех точек
плоскости , для
каждой из которых значение аргумента x является абсциссой, а значение функции y ‑ ординатой.
Слайд 7Способы задания функций одной переменной
Задать функцию ‑ это значит указать
множество ее определения и правило, при помощи которого по данному
значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.
Три основных способа задания функции:
1. Табличный.
Слайд 9аналитический, который имеет три разновидности:
А) явный способ задания ‑ с
помощью одного или нескольких аналитических выра-жений
. Например,
Б) неявный, т.е. с помощью уравнения
В) параметрический.
Слайд 13 Монотонные функции — возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие.
Промежутки монотонности функции
f(х) – непересекающиеся промежутки из , на каждом
из которых функция f(х) монотонна.
Слайд 16Периодичность функций
Функция f(х) периодическая — существует такое число
(период), что:
1) Если
, то ;
2) .
Если Т – период f(х), то любое число – тоже период f(х). Основной период — наименьший из положительных периодов.
Слайд 17Нули функции
Это значения аргумента x, при которых f(х)=0.
Геометрически нули
функции — это абсциссы точек пересечения графика функции с осью
ОХ.
Слайд 18Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства f(х) –промежутки из
, на которых либо
, либо .
Нули функции f(х) разбивают на промежутки знакопостоянства.
Слайд 19Экстремумы функции
Окрестность точки х0 — любой интервал, содержащий точку
х0.
Слайд 20 Точки экстремума — точки минимума и максимума.
Минимум f(х) —
значение f(xmin).
Максимум f(х) — значение f(хтах).
Экстремумы f(х) —
минимум и максимум f(х).
Точки экстремума f(х) разбивают D(f) на промежутки монотонности f(x), т.е. промежутки возрастания или убывания функции.
Слайд 21Пример
Точки х1 и х3 — точки максимума f(х).
Точка х2
— точка минимума f(х).
Слайд 22Свойства функций одной переменной
Четность и нечетность функции.
2. Периодичность функции.
3.
Монотонность функции.
4. Ограниченность функции.
Слайд 23Основные элементарные функции :
1) Степенная функция
2) Показательная функция
Логарифмическая функция
Тригонометрические функции
5) Обратные тригонометрические функции
Слайд 24Графики элементарных функций
Степенная функция
Линейная при
Парабола при
Слайд 29Показательная функция у = ех
Показательная функция у = ех,
где е
= 2,71828 — число е,
называется экспоненциальной, или экспонентой.
у
= ех = ехр(х) —
«экспонента от x».
Слайд 36Обратные тригонометрические функции
Слайд 39 Элементарными функциями называются все функции, которые можно получить из основных
элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий с применением
действительных коэффициентов и образования сложной функции.
Слайд 40Некоторые элементарные функции:
1) линейная функция
2) квадратичная функция
3) многочлены
с действительными коэффициентами (целые рациональные функции)
4) дробно-рациональные функции (рациональные дроби)
– отношение многочленов:
Слайд 415) иррациональные функции ‑ функции в которых используется операция извлечения
корня.
Некоторые неэлементарные функции:
1.
2. Дробная часть
Слайд 42Квадратичная функция
Квадратичной функцией называется функция вида
Область определения функции, т.е. все
значения, которые может принимать х, – все действительные числа.
Нули квадратичной
функции – все значения х, при которых у=0, т.е. корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0.
Слайд 43График квадратичной функции
Любую квадратичную функцию
можно представить
в виде
— парабола.
Вершина параболы —
точка .
Ось симметрии — прямая
Область значений — интервал , если
или , если
Слайд 45Свойства функции и вид ее графика определяются значениями коэффициента а
и дискриминанта D = b2 –4ас.
Слайд 47Пример. На рисунке приведен график изменения суточной температуры
Слайд 48Определите:
a) максимальное и минимальное значение температуры;
b) в какое время температура
была равна нулю;
c) временные промежутки, на которых температура была положительная;
d)
промежутки, на которых температура была отрицательная;
e) наибольший промежуток времени, на котором температура не меняла своего знака;
f) промежутки возрастания температуры;
g) промежутки убывания температуры.