Представление числовой информации с помощью систем счисления

правила записи чисел.

Цифры - знаки, при помощи которых записываются

числа.

Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Запись в тетрадь

721
Позиционные
(количественное значение цифры зависит от её положения в числе)

217
Виды

систем счисления

чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

Непозиционные системы счисления

цифр. В этой системе отсутствует нуль.
Римская система основана на употреблении

семи особых знаков - римских цифр, которые делятся на четыре знака десятичных разрядов
I = 1, X = 10, C = 100, M = 1000
и три знака половин десятичных разрядов
V = 5, L = 50, D = 500.

значение) цифры в числе не зависит от её положения в

записи числа.

Алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

40 = XL 1935 = MCMXXXV 28 = XXVIII

существует мнемоническое правило:
1000 - M
500 - D
100 - C

50 - L
10 - X
5 - V
обозначает 1 - I

Мы
Дарим
Сочные
Лимоны
Хватит
Всем
И ещё останется.

(без нуля), можно записывать при помощи повторения римских цифр, используя

четыре следующих правила:
Правило 1.
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988.
Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII.
Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

значению не возрастают, если считать слева направо, то они складываются.

Например:
II

= 2, VI = 6, XI = 11 - правильно, IV = 6, XL = 60 - неправильно.

Запись римскими цифрами

цифра стоит перед большей, вычитается меньшая цифра из большей;
затем

полученные результаты вместе с оставшимися цифрами подпадают под принцип сложения и складываются.

Например:
IV = 4, XIV = 14, XXIX = 29 — правильно,
IVX = 6, IXX = 1 — неправильно.

Запись римскими цифрами

четыре одинаковых десятичных знака подряд заменяются этим десятичным и следующим

половинным;
но если при этой замене этот десятичный знак оказывается между двумя одинаковыми половинными, то эти три знака заменяются этим десятичным и следующим десятичным (т. е. два половинных знака заменяются равноценным десятичным).

Например:
4 = IV, а не IIII; 9 = IX, а не VIIII или VIV; 19 = XIX,
а не XVIIII или XVIV.

Запись римскими цифрами

цифры (буквы);

трудно записывать большие числа;

нельзя записать дробные и отрицательные числа;

нет

нуля;

очень сложно выполнять арифметические операции.

Виды систем счисления

алфавите.
Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются:

десятичнаядесятичная и двоичная

потом в Западную Европу. Простые и удобные правила сложения и

вычитания очень больших чисел, записанной в этой системе, сделали ее особенно популярной.
Эти правила вывел азиатский математик аль-Хорезми. А поскольку его труд был написан на арабском языке, то и Индийская нумерация в Европе закрепилась неправильным названием "арабское".

Цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 сложились в Индии. Древнейшая запись обнаружена в Индии и датируется 595г.


Древнее изображение десятичных цифр не
случайно: каждая цифра обозначает число по
количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет,
2 – два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения.
Форма, которой мы пользуемся,
установилась в XVI веке.

5, 6, 7, 8, 9.
Позиционная система счисления
Система счисления называется

позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.
Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

налево, от младших разрядов к старшим, причём значения одинаковых цифр,

стоящих в соседних разрядах числа, различаются на величину основания.

Число в позиционных системах счисления записывается в виде суммы степеней основания (в данном случае 10), коэффициентами при этом являются цифры данного числа.

555

1,1,1,1,1

10,10,10,10,10

100,100,100,100,100

Свернутая форма записи числа

55510=5*102 +5*101 +5*100

555

Развернутая форма записи числа

Позиционные системы счисления

0 и 1
с основанием 2.

Значение цифры зависит дополнительно от

занимаемого ею места. Число 2 считается единицей 2-го разряда и записывается так: 10 (читается: «один, нуль»). Каждая единица следующего разряда в два раза больше предыдущей, т. е. эти единицы составляют последовательность чисел 2, 4, 8, 16,..., 2n,...
Используется в компьютерах из-за своей простоты. Простота выполнения операций в двоичной
системе счисления связана с двумя
обстоятельствами:
1 — есть сигнал, 0 — нет сигнала.

2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1).

В развернутой форме двоичные числа записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.      Например, развернутая запись двоичного числа 1012 будет иметь вид:
1012 = 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20

2 1 0

может быть представлено в виде:
Aq =±(an–1* qn–1 + an–2* qn–2

+…+ a0*q0 + a–1* q–1 +…+ a–m * q–m).

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит - совокупность цифр системы счисления.

Система счисления

Двоичная

Десятичная

Римская

Позиционная

5*100 + 2*10–1 + 3*10–2

Задания
4673 =

7,245 =

98,0095

=

= XI

основное отличие позиционных систем счисления от непозиционных?
Назовите наименьшее основание для

позиционной системы счисления?
Какие две формы записи чисел вы знаете?
Чему в десятичной системе счисления равны следующие числа, записанные римскими цифрами: а) XI; б) LX; в) MDX?

в числах:
3789 3650

13 39

2. Какие числа записаны римскими цифрами:
а). MCMXCIX; б). CMLXXXVIII; в). MCXLVII.

3. Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?
VII - V=XI IX-V=VI
VI - IX=III VIII - III=X

А 10=163, 41;
б) А 2=100111; в) А 2=1001,11

5. Запишите

в свернутой форме следующие числа:
а) А 10= 9·10 1 +1·10 0 +3·10 -1 +3·10 -2;
б) А 10=10·10 2 +1·10 1 +4·10 0 +5·10 -1
в) А 2 =1 • 24 + 0 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20

6. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 212, 101?

Задания для самостоятельного выполнения: