Статистическое оценивание

Содержание

1. Статистическое оценивание
2. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности Основная задача
3. Точечные оценкиРассмотрим параметрическую модель (Fθ) и выборку
4. ПримерВыборочное среднее есть оценка математического ожидания. Отсюда
5. Очевидно, что оценка является функцией элементов
6. НесмещенностьОценка параметра θ называется несмещенной, еслиДоказывали, что
7. Несмещенные оценки в N(a,σ)В N(a,σ):выборочное среднее –
8. Состоятельность Оценка параметра θ называется состоятельной, если
9. ПримерЗначит, в любом распределении, у которого математическое
10. ТеоремаЕсли то ─ состоятельная оценка параметра θ.
11. Оптимальность Для параметра θ может быть предложено несколько
12. Нижняя граница дисперсий Для дисперсии несмещенной оценки параметра θ выполняется неравенство Рао – Крамера:
13. Эффективность Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна нижней границе Рао –Крамера:
14. Методы нахождения оценок: метод моментов Теоретические
15. ПримерПусть (X1, X2,..., Xn) — выборка объема n из распределения R[0,θ] (равномерного на отрезке [0,θ]).
16. ЗамечаниеДля оценивания одного параметра обычно приравнивают выборочное
17. Свойства о.м.м.Если оценка параметра, полученная по методу моментов, является непрерывной функцией, то она состоятельна.
18. Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия Суть
19. Функция правдоподобия L(X,θ)
20. Метод максимального правдоподобия Оценкой максимального правдоподобия
21. Метод максимального правдоподобия Для нахождения максимума функции
22. Пример. Найти оценку параметра a в показательном распределении с плотностью fξ(x)=ae –ax.
23. Скачать презентанцию

Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки. Во многих случаях вид распределения Х можно считать известным, и задача

Главная
Разное
Статистическое оценивание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей и математическая статистика
Статистическое оценивание
ЛЕКЦИЯ 12

Слайд 2Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности
Основная задача математической статистики состоит

в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки.

Во многих случаях вид распределения Х можно считать известным, и задача сводится к получению приближенных значений неизвестных параметров этого распределения.

Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х

Слайд 3Точечные оценки
Рассмотрим параметрическую модель (Fθ) и
выборку (X1, X2,..., Xn)

. (То есть это выборка
наблюдений случайной величины, у которой
известен вид

функции распределения F, и F
зависит от одного неизвестного параметра θ).
Точечной оценкой неизвестного параметра θ
называется функция элементов выборки,
используемая для получения приближенного
значения θ.

Точечные оценкиРассмотрим параметрическую модель (Fθ) и выборку (X1, X2,..., Xn) . (То есть это выборканаблюдений случайной величины,

Слайд 4Пример
Выборочное среднее есть оценка математического ожидания.
Отсюда следует, что выборочное

среднее есть оценка параметра a в N(a,σ).

Слайд 5
Очевидно, что оценка является функцией элементов выборки, т. е.,

Замечание. Любую функцию элементов выборки называют статистикой.
Т.о., оценка – это

статистика, используемая для приближенного нахождения значения параметра.

Очевидно, что оценка является функцией элементов выборки, т. е., Замечание. Любую функцию элементов выборки называют статистикой.Т.о.,

Слайд 6Несмещенность
Оценка параметра θ называется несмещенной, если

Доказывали, что

Значит, в любом распределении, у которого матожидание равно параметру, выборочное среднее есть несмещенная оценка этого параметра.

Слайд 7Несмещенные оценки в N(a,σ)
В N(a,σ):
выборочное среднее – несмещенная оценка параметра

a,
выборочная дисперсия – смещенная оценка σ2,
исправленная

выборочная дисперсия – несмещенная оценка σ2.

Несмещенные оценки в N(a,σ)В N(a,σ):выборочное среднее – несмещенная оценка параметра a, выборочная дисперсия – смещенная оценка

Слайд 8Состоятельность
Оценка параметра θ называется состоятельной,

если

Слайд 9Пример
Значит, в любом распределении, у которого математическое ожидание равно параметру,

выборочное среднее есть состоятельная оценка этого параметра.

ПримерЗначит, в любом распределении, у которого математическое ожидание равно параметру, выборочное среднее есть состоятельная оценка этого параметра.

Слайд 10Теорема
Если

то ─ состоятельная оценка

параметра θ.

Слайд 11Оптимальность
Для параметра θ может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой

точности несмещенной оценки считают ее дисперсию
Несмещенная оценка параметра

θ называется оптимальной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра.

Оптимальность Для параметра θ может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки считают ее дисперсию

Слайд 12Нижняя граница дисперсий
Для дисперсии несмещенной оценки
параметра

θ выполняется неравенство Рао – Крамера:

Слайд 13Эффективность
Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна

нижней границе Рао –Крамера:

Слайд 14Методы нахождения оценок: метод моментов
Теоретические моменты случайной величины

зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов

выборки. Но выборочные приближенно равны теоретическим. Приравняем их, и получим уравнения, связывающие параметр и элементы выборки. Выразим из них параметр. Полученная функция и называется оценкой метода моментов (о.м.м.).

Методы нахождения оценок: метод моментов Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты

Слайд 15Пример
Пусть (X1, X2,..., Xn) — выборка объема n из распределения

R[0,θ] (равномерного на отрезке [0,θ]).

Слайд 16Замечание
Для оценивания одного параметра обычно приравнивают выборочное среднее и математическое

ожидание, для двух – выборочную и теоретическую дисперсии:

ЗамечаниеДля оценивания одного параметра обычно приравнивают выборочное среднее и математическое ожидание, для двух – выборочную и теоретическую

Слайд 17Свойства о.м.м.
Если оценка параметра, полученная по методу моментов, является непрерывной

функцией, то она состоятельна.

Слайд 18Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия
Суть метода в том,

что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение, максимизирующее

вероятность получить при опытах данную выборку
(X1, X2,..., Xn).

Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия Суть метода в том, что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра

Слайд 19Функция правдоподобия L(X,θ)

Слайд 20Метод максимального правдоподобия
Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра

θ называют значение, при котором функция правдоподобия достигает максимума

(как функция от θ при фиксированных (X1, X2,..., Xn). Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

Метод максимального правдоподобия Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра θ называют значение, при котором функция правдоподобия

Слайд 21Метод максимального правдоподобия
Для нахождения максимума функции правдоподобия L можно

искать максимум
ln L и решать уравнение

правдоподобия

Слайд 22Пример. Найти оценку параметра a в показательном распределении с плотностью

fξ(x)=ae –ax.

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Статистическое оценивание

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Теория вероятностей и математическая статистикаСтатистическое оценивание ЛЕКЦИЯ 12

Слайд 2Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности Основная задача математической статистики состоит

в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки.

Слайд 3Точечные оценкиРассмотрим параметрическую модель (Fθ) и выборку (X1, X2,..., Xn)

. (То есть это выборканаблюдений случайной величины, у которойизвестен вид

Слайд 4ПримерВыборочное среднее есть оценка математического ожидания. Отсюда следует, что выборочное

среднее есть оценка параметра a в N(a,σ).

Слайд 5 Очевидно, что оценка является функцией элементов выборки, т. е.,

Замечание. Любую функцию элементов выборки называют статистикой.Т.о., оценка – это

Слайд 6НесмещенностьОценка параметра θ называется несмещенной, еслиДоказывали, что

Слайд 7Несмещенные оценки в N(a,σ)В N(a,σ):выборочное среднее – несмещенная оценка параметра

a, выборочная дисперсия – смещенная оценка σ2, исправленная

Слайд 8Состоятельность Оценка параметра θ называется состоятельной,

если

Слайд 9ПримерЗначит, в любом распределении, у которого математическое ожидание равно параметру,