Тема: Применение производной

не только состояния, но и процессы: движение».

углубить знаний по теме;
- Формировать умения комплексного применения знаний,

умений, навыков и их перенос в новые условия.

траектории движущегося тела .
2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости

3. Одна из основных характеристик движения.
4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа.
5. Наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения.
6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени .
7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики .
8. Какие величины определяют положение тела в выбранной системе отсчета
9. Физическая теория, устанавливающая закономерности взаимных перемещений тел в пространстве, и происходящих при этом взаимодействий
10. Наука, изучающая применение производных в физике .
11. То, чего не достает в определении: производная от координаты по … есть скорость .

XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из

физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух:

- определение скорости прямолинейного движения ;

- построение касательной к кривой.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух:

- определение скорости прямолинейного движения ;

- построение касательной к кривой.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух:

- определение скорости прямолинейного движения ;

- построение касательной к кривой.

в древности. Они встречались у Евклида.
Ряд таких задач был

решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых

которое ввёл в 1797 году Жозеф Луи Лагранж (1736-1813). Он

же ввёл современное обозначение у/, f/(х).

(около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в

ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

развивалась кинематическая концепция производной.

Декарта, французского математика Ж.Роберваля, английского ученого
Д. Грегори.

Эйлер, Гаусс.

сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак

Ньютон. О нём писали: «Каждый естествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самым значительным, наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона».

аппарат дифференциального исчисления, которым мы и пользуемся в настоящее время.

И.Ньютон в основном опирался на физические представления о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной.

отношение приращения пути (по современной терминологии) к приращению времени, а

затем — предел этого отношения, т. е. взять «последнее отношение», когда приращение времени стремится к нулю. Так Ньютон ввел отыскание «последних отношений», производных, которые он называл флюксиями...

их; все его математические сочинения были изданы после того, как

он стал знаменитым.
«Метод флюксий» увидел свет только после смерти автора в 1736 году.

немецкий философ, математик, физик, языковед.
В 1676 году Лейбниц выработал первые

основания великого математического метода, известного под названием «дифференциальное исчисление».

величины.
Факты с достаточной убедительностью доказывают, что Лейбниц хотя и не

знал о методе флюксий, но был подведен к открытию письмами Ньютона.
Открытие Лейбница по общности, удобству обозначения и подробной разработке метода стало орудием анализа значительно могущественнее и популярнее метода флюксий Ньютона.

дифференциального исчисления и в промежуток времени между 1677 и 1684

годами успел создать целую новую отрасль математики.

занимается подобной проблемой немец Лейбниц. До поры до времени высоко

ценившие заслуги друг друга, в конце концов, ученые втянулись в полемику о приоритете открытия исчисления бесконечно малых.

Ньютону свой метод дифференциального исчисления. Тот на письмо Лейбница не

ответил. Ньютон считал, что открытие принадлежит ему навечно. Ученый искренне считал: своевременная публикация не приносит никаких прав. Перед Богом первооткрывателем всегда останется тот, кто открыл первым.

производной
Производная в физике есть быстрота или скорость изменения какой-либо величины

с течением времени.

υ (t) = х/(t) – скорость
a (t) = υ/ (t) – ускорение
J (t) = q/(t) - сила тока
C(t) = Q/(t) - теплоемкость
ω (t)= φ/(t) - угловая скорость
N(t) = A/(t) - мощность

реакцию задается зависимостью:
р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
Найти

скорость химической реакции через 3 секунды.

Задача:
По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный

прирост в момент времени t.

в момент времени t.
Рост численности населения

территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично

или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

t, где к = к р – кс –коэффициент прироста

(к р – коэффициент рождаемости,
кс – коэффициент смертности)
y/ t=k y
При t0 получим lim y/ t=у’
у’=к у

от объема произведенной продукции по времени. П=V‘ (t)
Аналогичным образом

могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени .

чтобы выпускалось как можно больше продукции;

Конструкторы пытаются разработать прибор для

космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

метрах , t в секундах). Найдите силу , действующую на

тело, и его кинетическую энергию через 3 с от начала движения.

:
Е к =(mv2)/2 , но v=s'=(t3/3-6t)'=t2-6.
Таким

образом, Eк=(m*(t2-6)2)/2
(E k) t=3 =(10*(32-6)2)/2=(10*9)/2=45(Дж)
2) силу ,действующую на тело в момент времени t, найдём по формуле: F=ma,где а =s"=(s‘)‘=V'; a=v'=(t2-6)'=2t.
Таким образом, F=m*2t ; и значение F для момента времени 3 с : Ft=3=10*2*3=60 (H).

в метрах, q – ускорение свободного падения ,принять равным 10

м/с2). Найти максимальную высоту подъёма данного тела.

время его подъёма. Время подъёма найдем из следующих соображений :

в момент подъёма тела на максимальную высоту его скорость обращается в 0. А так как
v=s'=(40t-(qt2)/2)'=40-qt,то имеем:
40-qt=0 ,следовательно qt=40 => t=40/q=4 (c).
Таким образом ,
h max=( s )t=4=40*4-10*8=160-80=80 (м)

в градусах).
С какой скоростью нагревается тело через 10 с после

начала нагревания?

нагрева , т.е. T=f (t) – температура является функцией от

времени. Скорость нагревания тела есть производная температуры по времени ,
т.е vнагрев T'= d T / d t =(0.2t2)'=0.4t
(d T/d t )t=10=0,4*10= 4 (град/с)
Ответ: в момент времени t=10 c тело нагревается со скоростью 4 градуса в секунду

Q, изменяющийся от времени по закону : Q=t3/3 (t в

секундах ,заряд в Кл). Найти мощность, поглощаемую (выделяемую) нагрузкой (источником тока) , через 2 с от начала включения источника тока.

– мгновенное значение силы тока, R – сопротивление нагрузки .
Сила

тока – это быстрота изменения заряда, т.е. I=Q'=dQ/dt. Найдём силу тока для любого значения времени :
I=Q'=(t3/3)' = t2. Для t = 2 c: It=2=22= 4(A)
Ответ: мощность, поглощаемая нагрузкой, P=42*50= 800(Вт)

на уроке.

Продолжите фразу:
“Сегодня на уроке я узнал…”
“Сегодня на уроке я

научился…”
“Сегодня на уроке я познакомился…”
“Сегодня на уроке я повторил…”

умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия –

удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика и физика способны достичь всех этих целей”.


Американский математик Морис Клайн.