Теорема. (Интегральный признак сходимости). Если для знакоположительного ряда

функция f (x)  0, такая что: 1) f (x) определена

и непрерывна на [1; +); 2) f (x) монотонно не возрастает, т.е.  x1 < x2 значение функции f (x1)  f (x2); 3) для  n  N значение функции f (x) совпадает с соответствующими членами ряда, т.е. f (n) = an, n = 1,2,3,… то ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

.

Определение. Остаточным членом числового ряда называется разность

между суммой ряда и его частичной суммой. Т.е. разность


При этом остаточный член ряда обозначают RN.
Остаточный член числового ряда сам представ-ляет собой ряд:

член числового ряда может быть оценен по формуле:


4. Обобщенный гармонический

ряд.
Определение: Ряд вида , где a – действительное число,

называется обобщенным гармоническим рядом.
a1 - ряд расходится;
a>1 – сходится.

. Требуется найти сумму

ряда S c

точностью  =0,01.
Найдем частичную сумму ряда Sn, такую, что

- остаток ряда.
Так как исходный ряд удовлетворяет условиям теоремы интегральный признак сходимости, это

означает, что для ряда существует функция , которая монотонно не возрастает и значит
.

ряда чисел. Значит, остаток ряда



Тогда

Положим, что:

откуда

 50 < n2  n > 7.

взять членов ряда не меньше 7.


с точностью  = 0,01.

он
содержит бесконечно большое число как положительных членов, так и отрицательных.
Пример:

- знакопеременный.

Определение (абсолютной сходимости).

Знакопеременный ряд называется

абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов

знакопеременного ряда, т.е. - сходится.

- сходится, как обобщенный

гармонический ряд.
Значит исходный ряд сходится абсолютно по определению.

называется

условно сходящимся, если:
1) Ряд из абсолютных величин расходится, т.е.

- расходится.

2) Сам ряд - сходится.

условно сходится

Ряд из абсолютных величин - расходится, но

сам ряд сам ряд -сходится.

Теорема 1 (об абсолютной сходимости).

Если ряд абсолютно сходится, то он

просто сходится (т.е. существует сумма ряда).
Доказательство: самостоятельно.

с некоторого N любые 2 соседних члена ряда имеют противоположные

знаки.



Пример:

Если члены ряда un таковы, что:
u1  u2  u3 … >0.

, ряд - сходится.

Доказательство самостоятельно.

на абсолют-

ную сходимость:

- расходится

(гармонический ряд).

Исследуем на сходимость. Ряд знакочередующийся, следовательно применима теорема Лейбница:
1) 1 > 1/2 > 1/3 > … - последовательность убывающая.

2) . Следовательно ряд -

сходится, а ряд - сходится условно.

un+1 – un+2 + un+3 – … =

В теореме

Лейбница было показано, что для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих этой теореме, справедливо соотношение:
S2n < u1.
Остаток ряда начинается с un+1 – го члена ряда. Значит для остатка ряда справедлива оценка:
Rn < un+1.
Значит S – Sn < un+1 удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.

.

Найти сумму

ряда с точностью ε = 0,1.

Так как S – Sn < , то полагая, что < 0,1

получим, что n + 1 > 10  n > 9. Следовательно:

, то ряд, полученный из этого ряда с

помощью любой перестановки членов ряда также сходится. Причем сумма ряда, полученная в результате перестановки членов из суммы исходного абсолютно сходящегося ряда, одинаковы.
Доказательство самостоятельно.

А (А – число) можно всегда переставить члены исходного условно

сходящегося ряда так, что сумма вновь полученного ряда будет больше А.
Доказательство самостоятельно.

f2(x), …. fn(x) определенная на некоторой области.
Выражение вида: f1(x)+f2(x)+ ….

+fn(x)+…

сокращенно записываемое как ,

называется функциональным рядом.
При этом частичной суммой ряда называется функция Sn(x) = f1(x)+f2(x)+ …. +fn(x).

называется

сходящимся на множестве DG, если для всех

хD существует .

Функция Sn(x) называется суммой функционального ряда.
Функция S(x) должна быть определена на области D.
Если предел в каких-то точках не существует, то говорят, что функциональный ряд расходится.

все теоремы для числовых рядов применимы и для функциональных при

фиксированных х.
Замечание: Для функциональных рядов применяются признаки Даламбера и Коши, состоящие в том, что признак Даламбера:

, х – фиксирован.

В признаке Коши:
, х – фиксирован.

– фиксирован.
Если

- сходится абсолютно,

>1, то ряд - расходится.

Определение. Все множество значений х, при котором ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

величин членов исходного ряда. Теперь

- числовой ряд.

2) Применяем признаки Даламбера или Коши, из которых получаем в качестве предела число l, зависящее от x. Те x, при которых l(x) < 1 дают область сходимости функционального ряда.
Если в некоторых точках l(x*) = 1, то проводится дополнительное исследование числовых рядов

вида и точки, в которых эти ряды

что область сходимости D представляет собой отрезок [a,b].
Пусть дан функциональный

ряд ,

сходящийся на [a,b] к своей сумме S(x). Это означает, что в точке x0 для ε > 0,  номер N(ε,x0) :  n > N(ε,x0) выполняется неравенство:
S(x0) – Sn(x0)< .

номер N(ε,x1) :  n > N1(ε,x1) выполняется неравенство:
S(x1) –

Sn(x1)< .
Существуют такие ряды, что сразу для всех точек из области сходимости можно найти номер, зависящий от , что из неравенства n > N сразу следует неравенство S(x1) – Sn(x1)<  сразу для всех х.
Ряды, которые обладают такими свойствами и называют равномерно сходящимися.

называется
равномерно сходящимся на [а, b] к своей сумме S(x), если

 > 0 (сколь угодно малого) сразу для всех х [а,b ],   и не зависящих от х :  n > N выполняется неравенство
Геометрический смысл.
n > N
Чем больше номер суммы, тем ближе лежит к сумме ряда. Начиная с некоторого n > N все частичные суммы функционального ряда лежат в  полосе суммы ряда.

на [а, b]

мажорируется сходящимся
знакоположительным числовым рядом

(т.е.

начиная с некоторого N сразу для всех
х  [а, b], fn(x)  an), то функциональный ряд


равномерно сходится на [а, b].
Без доказательства.

- сходится, значит равномерно

сходится и исходный ряд

в силу теоремы Вейерштрасса.

сходящегося ряда). Если

функциональный ряд

на [а, b] таков, что:

1) равномерно сходится
2) функции fn(x) непрерывны на этом отрезке для  n  N, тогда сумма этого ряда непрерывна на этом отрезке, т.е.


и произвольна.
Без доказательства.

на [а, b] таков, что:

1)

равномерно сходится
2) функции fn(x) непрерывны на этом отрезке для  n  N, тогда функциональный ряд можно почленно интегрировать, причем:



Без доказательства.

на [а, b] таков,

что:

1) равномерно сходится
2) функции fn(x) и fn(x) непрерывны на этом отрезке для  n  N,

3) Ряд равномерно сходится на [а, b],

тогда функциональный ряд можно почленно дифференцировать на [а, b], причем:

Без доказательства.