Решение текстовых задач по алгебре

Автор: Вакалова Н.Н., учитель математики высшей категории МОСШ №14

г.Нижневартовск
2010

подготовку учащихся по математике. Он расширяет базовый курс по математике,

является предметно-ориентированным и даёт возможность учащимся познакомиться с разнообразными и рациональными методами решения текстовых задач, а также проверить способности к математике.
Элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности в математической деятельности и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

для продолжения образования;
повышение уровня математической подготовки школьников в плане

решения различных классов текстовых задач, формирование приёмов эвристического мышления, обучение общим и частным приёмам решения задач;
систематизация знаний учащихся, формирование умения осмысленно оперировать ими при нахождении закономерностей, зависимостей между различными величинами в задачах на движение, на выполнение работы, на смеси и сплавы, на прогрессии;

анализа математической модели (уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств);
развитие логического

и математического мышления учащихся, смекалки, сообразительности, гибкости мышления, формирование математической и логической культуры.

их жизненных профильных планов;

создать условия для развития способностей учащихся к

математической деятельности;

развитие творческого потенциала учащихся; их интеллектуальной, организаторской активности;

работы, на смеси и сплавы, на прогрессии;

в процессе работы

над задачей формировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать её результаты.

работа

Устный и письменный опросы

занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса, рассматриваются методы

решения задач, систематизируются знания учащихся, основные закономерности, зависимости между различными величинами при решении задач на движение, на движение по кольцу, на выполнение работы (скорость, производительность). Перевод условия задачи на язык уравнений с целью нахождения неизвестной величины. Решение задач методом составления уравнений, систем уравнений.
Применение полученных знаний к практике решения задач полезно организовать в малых группах. Лучшему осмыслению учебного материала послужит составление таблицы для решения задач

решения задач, понятие процентной концентрации вещества в растворе (сплаве, смеси),

исследование изменения процентной концентрации смеси при изменении массы компонентов. Простейшие задачи на растворы и смеси. Перевод условия задачи на язык уравнений с целью нахождения неизвестной величины. Решение задач методом составления уравнений, систем уравнений.
Полезно выделять время для индивидуальной работы учащихся.

и геометрическую прогрессии, познакомить учащихся с таблицей М.Штифеля, рассмотреть решение

задач повышенной сложности. Использовать основные формулы прогрессий при решении задач, комбинированные задачи на прогрессии. Перевод условия задачи на язык уравнений с целью нахождения неизвестной величины. Решение задач методом составления уравнений, систем уравнений.
В конце изучения курса проводится анкетирование, позволяющее учащимся осознать, чем завершился для них данный курс.

на восемь этапов:
1-й этап — анализ задачи;
2-й этап — схематическая

запись задачи;
3-й этап – поиск способа решения задачи;
4-й этап — осуществление решения задачи;
5-й этап — проверка решения задачи;
6-й этап — исследование задачи;
7-й этап — формулирование ответа задачи;
8-й этап — анализ решения задачи.

установить, к какому виду задач она принадлежит.
2. Если вы узнали

в ней стандартную задачу знакомого вида, то примените для ее решения известное вам общее правило.
3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в следующих направлениях:

разбивать ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);
б) ввести в

условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных
элементов);
в) переформулировать ее, заменить ее другой равносильной задачей (способ моделирования).

было осуществлять указанные способы, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель

задачи — ее схематическую запись.

5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.

Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения есть процесс изобретательства.

Учитесь творить и изобретать в процессе решения задач!

двумя пристанями за 6 ч, а обратный путь она совершила

за 8 ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

1. Анализ задачи.

В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывет и лодка, и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6ч), чем против течения (8 ч). Но эти скорости (собственная скорость лодки и скорость течения реки) в задаче не даны (они неизвестны), так же как неизвестно расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные скорости и расстояние, а время, за которое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.

решения задачи.
Нужно найти время, за которое плот проплывет

расстояние между пристанями А и В. Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой s (км), а скорость течения реки примем равной а км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки), нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна v км/ч. Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

км, скорость течения реки а км/ч, собственная скорость лодки

v км/ч, а искомое время движения плота на пути в s км равно х ч..
Тогда скорость лодки по течению реки равна (v + a) км/ч. За 6 ч лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в s км.
Следовательно, 6 (v + a) = s (1)
Против течения эта лодка идет со скоростью (v —а) км/ч и путь АВ в s км она проходит
за 8 ч, поэтому 8(v —a) = s (2)
Наконец, плот, плывя со скоростью а км/ч, покрыл расстояние 5 км за х ч, следовательно,
ax = s. (3)
Уравнения ( 1 ) , ( 2 ) и ( 3 ) образуют систему уравнений относительно неизвестных s, а , v и х. Так как требуется найти лишь х, то остальные неизвестные постараемся исключить.
Для этого из уравнений (1) и (2)

Найдем v – a = ; v — a = ;

Вычитая из первого уравнения второе,

получим: 2а = ; a = .

Подставим найденное выражение для а в уравнение (3) ∙x = s.

Так как, очевидно, s не равно нулю, то можно обе части полученного уравнения разделить на 5.
Тогда найдем: х = 48.

что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно,

его скорость, равная
скорости течения реки, равна км/ч. Скорость же лодки по течению равна км/ч, а против течения км/ч. Для того чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:
1)от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки,
т.е.
2)к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки, т. е. .
Произведя вычисления, получаем верное равенство
Значит, задача решена правильно.
6.Исследование задачи.
В данном случае этот этап решения не нужен.
7.Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч.

свели решение этой задачи к решению

системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было нам лишь одно из этих неизвестных. Поэтому, естественно, возникает мысль, что проведенное решение не самое удачное, хотя и достаточно простое.

Можно предложить другое решение.
Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6 ч, а против — за 8 ч, найдем, что в 1 ч лодка, идя по течению, проходит часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними ( ) ( удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1 ч. Значит, плот за 1 ч проплывет часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч. При таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако, это решение сложнее приведенного выше, хотя бы потому, что не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки. Часто также эту разность принимают не за удвоенную часть расстояния АВ, проплываемую плотом за 1 ч, а за скорость плота, что приводит к ошибочному ответу.

«НА СПЛАВЫ И ПРОЦЕНТЫ»

ЗАДАЧИ «НА ПРОГРЕССИИ»

пунктов А и В и встречаются через полчаса. Продолжая движение,

первый прибывает в В на 11 минут раньше, чем второй в А. За какое время преодолел расстояние АВ каждый пешеход?

2.В водохранилище (скоростью течения можно пренебречь) из пункта А в пункт В отправляется теплоход. Через 4 мин следом за ним отправляется ракета на подводных крыльях, которая догоняет теплоход на расстоянии 2 км от пункта А. Дойдя до пункта В, находящегося на расстоянии 19,5 км от пункта А, и, простояв там 15 мин, ракета отправляется обратно и встречает теплоход в 5 км от пункта В. Определите скорости теплохода и ракеты.

При этом легковой автомобиль проехал на 12 км больше, чем

грузовик, но бензин у него закончился на 0,5 ч раньше. Какая автомашина проедет дальше и на сколько при той же заправке бензином по асфальтовой дороге, если скорость на асфальте у каждой из них на 16 км/ч больше, чем на просёлочной ( время расхода бензина не зависит от качества дороги)?

4.Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от линии старта, а пробежав 5 км, он повернул обратно и встретился с первым бегуном. Эта встреча произошла через 20 мин после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна.

5.Если идти шагом по движущемуся вверх эскалатору, то можно подняться на 10 с раньше, чем стоя на нём. Если же не идти, а бежать вверх, то можно выиграть ещё 5 с. Пассажир, стоя на эскалаторе, поднялся на половину высоты эскалатора, после чего эскалатор остановился. Вторую половину подъёма пассажир прошёл шагом. Сколько времени занял у него весь подъём, если известно, что человек бегает в 2 раза быстрее, чем ходит?

реки отошёл катер, собственная скорость которого (скорость в стоячей воде)

в 7 раз больше скорости течения реки. Одновременно навстречу ему от пристани В, расстояние от которой до пристани А по реке равно 20 км, отошла лодка. На каком расстоянии от пристани В произошла встреча катера с лодкой, если известно, что через полчаса после начала движения лодке оставалось проплыть 4 км до места встречи, и что катер затратил на путь до встречи с лодкой на 20 мин больше, чем на путь от места встречи до пристани В?

7.С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один – на запад, другой – на юг. Через 2 ч расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

8.Две точки движутся по окружностям, радиусы которых относятся как 1 : 6. Найдите скорость движения каждой точки, если за 10 с точка, движущаяся по большей окружности, прошла на 2 м больше и совершила при этом в 5 раз меньше оборотов.

на 2 с быстрее второго. Если тела движутся в одном

направлении, то они встречаются через каждые 60 с. Какую часть окружности проходит каждое тело за 1 с?

10.Из двух пунктов, расстояние между которыми 28 км, одновременно выходят навстречу друг другу два пешехода. Если бы первый пешеход не задержался на 1 ч на расстоянии 9 км от места своего отправления, встреча пешеходов произошла бы на середине пути. После остановки первый пешеход увеличил свою скорость на 1 км/ч, и они встретились на расстоянии 4 км от места его остановки. Найдите скорость второго пешехода.

засеяли пшеницей: с первого поля собрали 1080 ц зерна, со

второго поля – 750ц. Площадь первого поля на 10 га больше площади второго. Если бы с 1 га первого поля собрали столько же пшеницы, сколько собрали с 1 га второго поля, а с 1 га второго поля собрали бы столько же, сколько собрали с 1 га первого поля, то с обоих полей собрали бы одинаковое количество зерна. Сколько центнеров зерна собрали с 1 га каждого поля?

4.Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 ч быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они изготовят за 1 час 30 деталей?

5.Имеется два одинаковых бака. При совместной работе двух насосов один бак наполняется водой за 3ч 36мин. За сколько времени наполнится каждый бак, если к нему подведён только один насос и с помощью второго насоса бак наполняется на 3 ч быстрее, чем с помощью первого?

по 20 м3. После того как был вырыт первый котлован,

производительность экскаватора уменьшилась на 1 м3/ч. Известно, что через 6,5 ч после начала работы было вырыто полтора котлована. Найдите первоначальную производительность.

2.Два двигателя начали работу одновременно. Первый из них, прекратив работу на 2 ч позже второго, израсходовал 300 т топлива. Второй двигатель израсходовал 192 т топлива. Сколько топлива в течение одного часа расходует первый двигатель, если известно, что эта его характеристика на 6 т превышает соответствующую характеристику второго двигателя?

насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8ч. После ремонта

насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе обоих насосов бассейн стал наполняться за 6ч. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

7.Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили нефтью первый танкер и треть второго танкера (другого объёма) за 11ч. Если бы 3 насоса наполнили первый танкер, а затем один из них наполнил четверть второго танкера, то работа заняла бы 18ч. За сколько часов 3 насоса могут наполнить второй танкер?

8.Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6ч, второй – 4 ч, а третий – 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй – 2ч и третий – 5 ч, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и тоже время?

одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трёх одновременно

работающих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линия, работая вместе, могут выполнить на 4ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2ч быстрее по сравнению с первой линией. Найдите время выполнения первой линией своего сменного задания.

10.Три цистерны одинакового объёма начинают одновременно заполняться водой, причём в первую цистерну поступает 100 л воды в минуту, во вторую – 60 л, в третью – 80 л. Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, вторая и третья частично заполнены, все три цистерны заполняются одновременно. Во сколько раз количество воды в начальный момент времени во второй цистерне больше, чем в третьей?

22 кг алюминия, добавили 15 кг магния, после чего содержание

магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?

2.Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором слитке. После того, как оба слитка сплавили, получив слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг.

которых содержал 48 г, а другой 20 г йодистого калия,

получили 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.

4.В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров смеси и сосуд опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?

5.Из 40 т железной руды выплавили 20 т стали, содержащей 6% примесей. Какой процент примесей в руде?

за 225 рублей, продал их, получив 40% прибыли. За какую

цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго – 50%?

7.Из бутыли, наполненной 12% раствором соли, отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили ещё 1 литр и опять долили водой. В бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли?

8.Сплавлено 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой пробы и получено золото 62-й пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61-й пробы?

цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова,

а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаковое. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго сплава, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

10.Найдите отношение двух чисел, если известно, что разность первого числа и 10% второго числа составляют 50% суммы второго числа и 50% первого.

так, что они вместе с данными составляют арифметическую прогрессию. При

каком значении n разность этой прогрессии принадлежит области определения функции


2.Сумма первых семнадцати членов арифметической прогрессии равна 85, а сумма первых её двадцати одного члена равна 189. Сколько положительных трёхзначных чисел содержится в этой прогрессии?

член положительны. Если увеличить разность этой прогрессии на 4, не

меняя первого члена, то сумма её членов увеличится в 3 раза. Если же первый член исходной прогрессии увеличить в 5 раз, не меняя её разности, то сумма членов увеличится также в 3 раза. Найдите разность исходной прогрессии.
4.Сумма трёх чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов равна 21. Найдите эти числа.

формулам:

а) Sn= 5ⁿ : (2ⁿ + 3ⁿ);
б) Sn=

2 ∙5ⁿ - 3.

Является ли эта последовательность геометрической прогрессией?

6.Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трёхкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша. Миша – блокнот и 6 карандашей, Вася – блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

7.Восьмой член арифметической прогрессии с ненулевой разностью равен 60. Известно, что первый, седьмой и двадцать пятый члены составляют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

одно число так, что все три числа образуют возрастающую арифметическую

прогрессию. Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найдите неизвестное число.

9.В арифметической прогрессии, содержащей девять членов, первый член равен 1, а сумма всех членов равна 369. Геометрическая прогрессия также имеет девять членов, причём первый и последний её члены совпадают с соответствующими членами данной арифметической прогрессии. Найдите пятый член геометрической прогрессии.