Основные свойства простейших геометрических фигур

Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие».

руководство по математике под названием «Начала».
Евклид – древнегреческий ученый (III

в. до н.э.)

прямая

Основные отношения:
лежать,
принадлежать.
А
а

и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две

точки можно провести прямую, и только одну.

Основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости

А В

точки,
лежать по одну сторону.


Отрезком называется часть прямой, которая состоит из

всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками.

А

В

А

В

С

прямой одна и только одна лежит между двумя другими

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка

равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

M N K

разбивает плоскость на две полуплоскости.

Z
Полупрямой или

лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки

Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными.

– и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, -

сторон угла.
L (а в), L(СВD)

А

а

в

с

Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

большую нуля. Развернутый угол равен 1800. Градусная мера угла равна

сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

580, L(а с)=190,
Найти: L(в с).
Решение:
Т.К. с – луч,

проходящий между сторонами L(а в), то по основному свойству измерения углов имеем: L(а в)= L(а с)+ L(в с). Отсюда
L(в с) = L (а в )- L(а с).

Задача 1.

точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
А

а

VII. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 1800 и только один.

специальных приборов. Простейшим из них является астролябия. Она состоит из

двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки ее в определенном направлении.

на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.



А

С

В

АВС

А

M






В С N K

называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.

С
В

А1

С1

В1

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

АВС = А1В1С1

был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно

данной прямой.

Существование треугольника равного данному

С
В

А1

С1

В1

АВС = А1В1С1

а

Две прямые называются параллельными

если они не пересекаются.

а || b

на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной

прямой, параллельной данной.

Евклида называлась пятым постулатом (аксиома параллельности прямых).
Много веков усилия большого

числа ученых были направлены на доказательство этой аксиомы. Это объяснялось тем, что число аксиом стремились свести к минимуму. Ученые думали, что пятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные аксиомы.
В конце XVIII в. у некоторых геометров возникла мысль о невозможности доказать V постулат. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792-1856 гг).
Лобачевский предпринял попытку доказать это утверждение от противного: он предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой можно провести несколько прямых, не пересекающих данную.

сделан замечательный вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии

Евклида.
Сообщение об открытии новой геометрии было сделано Лобачевским в 1826 г.

Современной наукой установлено, что евклидова геометрия лишь приближенно, хотя и с очень большой точностью, описывает окружающее нас пространство, а в космических масштабах она имеет заметное отличие от геометрии реального пространства. Бурное развитие математики в XIX в привело к созданию выдающимся немецким математиком Б.Риманом (1826-1866 г.г) новой геометрии.

доказательств, называются аксиомами.
Утверждение, истинность которого необходимо

доказать, называется теоремой.
Доказательство – это рассуждения, опирающееся на аксиомы и ранее доказанные теоремы, устанавливающее истинность данного факта. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.
При доказательстве разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами.
Определение – словесное описание геометрического объекта, объясняющее, что это такое.

треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только

одну из двух других сторон.

В А

С

а

а