Подготовлю справочник по геометрии (или как повторить геометрию к экзамену)

равносторонний треугольник.
2.Основные свойства треугольников. Сумма углов треугольника.
Внешний  угол треугольника.
3.Признаки равенства

треугольников.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
4.Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,
Биссектрисы.
5. Срединные перпендикуляры, ортоцентр.
6.Треугольник и окружность.
7.Теорема Пифагора.
Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

ТРЕУГОЛЬНИК и всё связанное с ним. (курс 7-8 классов)

треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим

противоположные вершины.

Если все три угла острые ( рис.20 ), то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой(   рис.21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона  c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой (   рис.22 ), то это тупоугольный треугольник.

Треугольник ABC ( рис.23 ) - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC ( рис.24 ) – равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a    b    c ) мы имеем неравносторонний треугольник.

угол, и наоборот.
 
2.  Против равных сторон лежат равные углы, и

наоборот.
     В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
 
3.  Сумма углов треугольника равна 180 º .
 
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем
     треугольнике равен 60 º.
 
4.  Продолжая одну из сторон треугольника , получаем внешний
     угол . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
     не смежных с ним.
 

 5.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
      их разности ( a < b + c,  a > b – c;  b < a + c,  b > a – c;  c < a + b,  c > a – b ).
 

две стороны и угол между ними;
   b)  два угла и прилегающая

к ним сторона;
   c)  три стороны.
 
Признаки равенства прямоугольных треугольников. 
 
Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1)  равны их катеты;
2)  катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3)  гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4)  катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5)  катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты

треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
 
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на  рис.29  AE : CE = AB : BC .

треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (

точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

пересечения серединных перпендикуляров

центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
центр описанной

и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

сумме квадратов длин катетов .

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует

из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами  a, b и гипотенузой c.

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна  a+ b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2. С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть
                                                                                                             
c 2 + 4 ( ab / 2 ) = c 2 + 2 ab ,
отсюда, 
c 2 + 2 ab = ( a + b ) 2 ,
и окончательно имеем:
c 2 =  a 2 + b 2 .

В общем случае ( для произвольного треугольника ) имеем:
          c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C,
где C – угол между сторонами  a  и  b .  

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

района
Г. Санкт-Петербург.
2011 г.