"Примеры комбинаторных задач 9 класс"

«Средняя общеобразовательная школа №2 им.Е.В. Камышева» г.Гагарин Смоленской области

числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно

составить из данных элементов.

Перемен»
(V век до н. э.).

По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты.

Гексаграмма из
«Книги перемен»

Магический квадрат
на гравюре Дюрера

Альбрехт Дюрер

рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов,

если оно и существовало, до нас не дошло. Хрисипп (III век до н.э) и Гиппарх (II век до н. э.)
подсчитывали, сколько следствий можно получить
из 10 аксиом; методика подсчёта нам неизвестна,
но у Хрисиппа получилось более миллиона,
а у Гиппарха — более 100000.

Аристоксен

Аристотель при изложении своей логики
безошибочно перечислил все
возможные типы трёхчленных силлогизмов. 
Аристоксен рассмотрел различные
чередования длинных и коротких слогов
в стихотворных размерах.

связанные с перестановками
и сочетаниями, включая перестановки
с повторениями. В

Западной
Европе ряд глубоких открытий в
области комбинаторики сделали
два еврейских исследователя, 
Авраам ибн Эзра (XII век) и
 Леви бен Гершом  и др.
Несколько комбинаторных задач
содержит «Книга абака»
(Фибоначчи, XIII век).
Например, он поставил задачу
найти наименьшее число гирь,
достаточное
для взвешивания любого
товара весом от 1 до 40 фунтов.

Страничка истории

Леона́рдо
Пиза́нский
 Наиболее
известен
под прозвищем
 Фибона́ччи

Страница
из 
Книги абака

игры занимались
Тарталья и Галилео
Галилей.

В историю зарождавшейся теории
вероятностей вошла

переписка
заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером
Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты
несколько тонких комбинаторных вопросов.

Блез Паскаль много занимался
биномиальными коэффициентами
и открыл простой способ их вычисления:
«Треугольник Паскаля»

 Сам термин «комбинаторика»
придумал Лейбниц, который в 1666 году
(ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу
«Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Якоб Бернулли – один из основоположников теории вероятностей.
Паскаль- ввел термин «сочетание». Абрахам де
Муавр и Джеймс Стирлинг занимались вопросом факториала.

Д
а
л
е
е

треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам

стоят единицы . Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Имеет применение в теории вероятностей.

-биномиальные
коэффициенты

для n=2

Вернуться

1 2

3 4 5 6 7 8 9

Аналогично, если первая цифра 2,3,4,5,6,7,8,9.
Получаем 9 • 10= 90 вариантов
это числа:
10,11,12,13………………97,98,99.

направо
и справа налево?
На первом месте цифры 1,2,3,4…9.
(9 вариантов)
На втором

и предпоследнем месте любая цифра (10 вариантов)

На третьем месте ( в середине) любая цифра (10 вариантов)

9 • 10 • 10 = 900 вариантов (чисел)

из
них один за другим к элементов.
Если первый элемент

можно выбрать n1 способом,
второй элемент можно выбрать n2 способом,
третий элемент можно выбрать n3 способом,
и так далее…., то число способов, которыми могут
быть выбраны к элементов равно произведению
n1•n2•n3•…….•nк

способами могут
Быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая

команда
может получить только одну медаль?

Бронза n1 = 10
Серебро n2= 9
Золото n3 = 8
n1 • n2 • n3 = 10 • 9 • 8 = 720

эн факториал»
Обозначение:
n! = 1•2•3•4•……•n


Пример:
5! = 1•2•3•4•5 =120

= 2!• 3 = 6
4! = 1•2•3•4 = 3!•4 =

24
5! = 1•2•3•4•5 = 4!•5 = 120
6! = 1•2•3•4•5•6 = 5!•6 = 720
7! = 1•2•3•4•5•6•7= 6!•7=5040

СА, СВ,СД
Для Д: ДА, ДВ, ДС

Всего 12 способов