Разделы презентаций


Предел функции

Содержание

Второй замечательный пределВторым замечательным пределом называется равенство:Следствия:Другие полезные формулы:

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Предел функции
Второй замечательный предел
Бесконечно малые функции
Непрерывность функции в точке
Точки разрыва

функции
Основные теоремы о непрерывных функциях
Непрерывность функции на интервале и на

отрезке
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Предел функцииВторой замечательный пределБесконечно малые функцииНепрерывность функции в точкеТочки разрыва функцииОсновные теоремы о непрерывных функцияхНепрерывность функции на

Слайд 2Второй замечательный предел
Вторым замечательным пределом называется равенство:
Следствия:
Другие полезные формулы:

Второй замечательный пределВторым замечательным пределом называется равенство:Следствия:Другие полезные формулы:

Слайд 3Второй замечательный предел

Второй замечательный предел

Слайд 4Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами;

обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.
Например:
-

бесконечно малая функция при

Теорема

Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x)

Бесконечно малые функцииБесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами; обозначают обычно греческими буквами α, β и

Слайд 5Бесконечно малые функции
Сравнение бесконечно малых
Пусть α(х), β(х) – бесконечно малые

функции
Если
то говорят, что α(х) является бесконечно малой высшего

порядка по сравнению с β(х) :

Если

то говорят, что α(х) и β(х) – бесконечно малые одного и того же порядка.

Если

то α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые

Бесконечно малые функцииСравнение бесконечно малыхПусть α(х), β(х) – бесконечно малые функции Если то говорят, что α(х) является

Слайд 6Бесконечно малые функции
Некоторые свойства бесконечно малых
Произведение двух бесконечно малых есть

бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями:
Бесконечно малые

эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка относительно α и β .

Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой.

Бесконечно малые функцииНекоторые свойства бесконечно малыхПроизведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с

Слайд 7Бесконечно малые функции
Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых

при

Бесконечно малые функцииПолезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых при

Слайд 8Непрерывность функции в точке
Пусть функция y = f(x) определена в

некоторой окрестности точки x0, и в самой точке x0.
Функция y

= f(x) называется непрерывной в точке x0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

(1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1

Функция y = f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности.

2

Функция y = f(x) имеет предел при

3

Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

Непрерывность функции в точкеПусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, и в самой

Слайд 9Непрерывность функции в точке
Так как
то равенство (1) можно записать в

виде:
Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно

перейти к пределу под знаком функции:

Равенство справедливо в силу непрерывности функции y = ex

Непрерывность функции в точкеТак както равенство (1) можно записать в виде: Это значит, что при нахождении предела

Слайд 10Непрерывность функции в точке
Пусть функция y = f(x) определена в

некоторой интервале (a; b).
Возьмем произвольную точку
Разность x – x0

называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается:

х0

y0 = f(x0 )

х

y = f(x )

Разность соответствующих значений функций f(x) – f(x0) называется приращением функции f(x) в точке х0 и обозначается:

Непрерывность функции в точкеПусть функция y = f(x) определена в некоторой интервале (a; b).Возьмем произвольную точку Разность

Слайд 11Непрерывность функции в точке
х0
y0
Преобразуем равенство (1):
Полученное равенство является еще одним

определением непрерывности функции в точке:
Функция y = f(x) называется непрерывной

в точке x0 , если она определена в точке x0 и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Непрерывность функции в точкех0y0Преобразуем равенство (1):Полученное равенство является еще одним определением непрерывности функции в точке:Функция y =

Слайд 12Точки разрыва функции
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называется точками

разрыва функции.
Если x = x0 – точка разрыва функции, то

в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности, а именно:

2

Функция f(x) определена в окрестности точки х0 , но не определена в самой точке х0 :

1

не определена в точке х = 2 , но определена в любой окрестности этой точки, поэтому х = 2 - точка разрыва.

Функция

Точки разрыва функцииТочки, в которых нарушается непрерывность функции, называется точками разрыва функции.Если x = x0 – точка

Слайд 13Точки разрыва функции
2
Функция f(x) определена в точке х0 и в

ее окрестности, но не существует предела f(x) при
2
определена в точке

х = 2 , но но не имеет предела при

Функция

не существует, значит
х = 2 - точка разрыва

Точки разрыва функции2Функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности, но не существует предела f(x)

Слайд 14Точки разрыва функции
2
3
х = 0 -точка разрыва
1

Точки разрыва функции23х = 0 -точка разрыва1

Слайд 15Точки разрыва функции
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода

функции f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы

слева и справа:

При этом:

Величину называют скачком функции в точке разрыва 1 рода.

Точки разрыва функцииТочка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции f(x) , если в этой точке

Слайд 16Точки разрыва функции
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода

функции f(x) , если по крайней мере один из односторонних

пределов не существует или равен бесконечности.

В примере 1:

х = 2 – точка разрыва 2 рода.

Точки разрыва функцииТочка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции f(x) , если по крайней мере

Слайд 17Основные теоремы о непрерывных функциях
Сумма, произведение и частное непрерывных функций

есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента,

где знаменатель равен нулю)

Теорема 1

Теорема 2

Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = g(x0). Тогда сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке x0.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Основные теоремы о непрерывных функцияхСумма, произведение и частное непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением

Слайд 18Непрерывность функции в интервале и на отрезке.
Функция y = f(х)

называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в

каждой точке этого интервала.

Функция y = f(х) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (a; b), и в точке x = a непрерывна справа:

а в точке x = b непрерывна слева:

Непрерывность функции в интервале и на отрезке.Функция y = f(х) называется непрерывной на интервале (a; b), если

Слайд 19Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема (Вейерштрасса)
Если функция непрерывна на

отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и

наименьшего значения

Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A, f(b) = B, то на этом отрезке она принимает все значения между A и B.

Теорема (Больцано - Коши)

Следствие

Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в ноль: f(с) = 0

a

b

c

Свойства функций, непрерывных на отрезкеТеорема (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика