Предел функции

функции
Основные теоремы о непрерывных функциях
Непрерывность функции на интервале и на

обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.
Например:
-

Теорема

Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x)

функции
Если
то говорят, что α(х) является бесконечно малой высшего

Если

то говорят, что α(х) и β(х) – бесконечно малые одного и того же порядка.

Если

то α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые

бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями:
Бесконечно малые

Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой.

при

некоторой окрестности точки x0, и в самой точке x0.
Функция y

(1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1

Функция y = f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности.

2

Функция y = f(x) имеет предел при

3

Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

виде:
Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно

Равенство справедливо в силу непрерывности функции y = ex

некоторой интервале (a; b).
Возьмем произвольную точку
Разность x – x0

х0

y0 = f(x0 )

х

y = f(x )

Разность соответствующих значений функций f(x) – f(x0) называется приращением функции f(x) в точке х0 и обозначается:

определением непрерывности функции в точке:
Функция y = f(x) называется непрерывной

разрыва функции.
Если x = x0 – точка разрыва функции, то

2

Функция f(x) определена в окрестности точки х0 , но не определена в самой точке х0 :

1

не определена в точке х = 2 , но определена в любой окрестности этой точки, поэтому х = 2 - точка разрыва.

Функция

ее окрестности, но не существует предела f(x) при
2
определена в точке

Функция

не существует, значит
х = 2 - точка разрыва

функции f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы

При этом:

Величину называют скачком функции в точке разрыва 1 рода.

функции f(x) , если по крайней мере один из односторонних

В примере 1:

х = 2 – точка разрыва 2 рода.

есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента,

Теорема 1

Теорема 2

Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = g(x0). Тогда сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке x0.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в

Функция y = f(х) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (a; b), и в точке x = a непрерывна справа:

а в точке x = b непрерывна слева:

отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и

Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A, f(b) = B, то на этом отрезке она принимает все значения между A и B.

Теорема (Больцано - Коши)

Следствие

Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в ноль: f(с) = 0

a

b

c