Исследование функций и построение графиков

непрерывность, четность/нечётность.
2) Асимптоты графика функции.
3) Возрастание, убывание и экстремумы

функции.
4) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика.

множество тех значений которые может принимать аргумент
Множество значений функции(Е)- это

множество тех значений, которые может иметь сама функция при всех значениях аргумента с области определения (это все значения а, при которых уравнение f(x) = a имеет решения)
ПРИМЕР. f(x)=x-1
Область определения: x - 1 ≥ 0, то есть x ∈ [1; +∞) (Df = [1; + ∞))

x → a f(x) → f(a), то есть

Если функция ƒ(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I.
(график функции, непрерывной на промежутке — непрерывная линия на этом промежутке.)
Примеры функций, которые имеют точки разрыва
y = [x] — целая часть x






Точки разрыва — 0 — точка разрыва. 0 — точка разрыва.
все целочисленные
точки.

определения симметрична относительно началу координат и для любого x из

её области определения f(-x) = f (x)
Свойства
График парной функции симметричен относительно оси 0y

Функция f называется не парной, если её область определения симметрична относительно началу координат и для любого x из её области определения f(-x) = - f (x)
Свойства
График парной функции симметричен относительно началу координат

Примеры четной функции

удалении её в бесконечность

интервала (а;b), то функция f возрастает на интервале (а;b).

Теорема. Если

функция имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f убывает на интервале (а;b).

0
f `(x) > 0

Функция

убывает
 > 900

tg  < 0

f `(x) < 0

точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная

f `(x), то она равна нулю:
f `(x) = 0.

f непрерывна в точке х0, а f `(x)

> 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.

f непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на

интервале
(а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f

X

Y

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

е м а. Пусть функция f(x), х(а;b), имеет первую и

вторую производные. Тогда, если f ``(x) < 0 для всех х(а;b), то на интервале (а;b) график функции f(x) выпуклый вверх, если же f ``(x) > 0 для всех х(а;b), то график функции f(x) выпуклый вниз на (а;b).

убывает
f `(x) – убывает
f ``(x)

0

График вогнутый
 - возрастает
tg  - возрастает
f `(x) – возрастает
f ``(x) > 0

1

2

A1

A2

A1

A2

производной в некоторой окрестности критический точки.
Если f

``(х) меняет свой знак при переходе аргумента через критическую точку х0, то (х0; f(х0)) - точка перегиба графика данной функции