Бенефис одной задачи

Задача. В трапеции диагонали длиной

6 см и 8 см взаимно перпендикулярны. Найдите длину средней линии трапеции.

как ACKD – параллелограмм, то DK=6 см.
2. BD┴DK, так как

BD ┴ AC. Δ BDK – прямоугольный.
BK= ;
BK= =10(см).
3. BK=BC+AD. Средняя линия равна половине BK, то есть 5 см.
Ответ: 5 см.

В

С

А

D

K

О

с продолжением AD. DE = BC, так как DBCE –

параллелограмм. AE вычислим по теореме Пифагора из ΔACE (CE || BD, но BD ┴ AC, следовательно,CE ┴AC):
AE = ; AE = = 10(см).
AE = a+b. Но средняя линия равна (a+b)/2 ,
т.е. равна 5 см.
Ответ: 5 см.

A

B

C

D

E

a

b

6

8

MK || BD и соединим точки N и K.
NK –

средняя линия ΔACD, следовательно NK=0,5 AC; NK = 3(см).
MK – средняя линия ΔABD, следовательно MK=0,5 BD; MK=4(см).
Угол MKN равен углу AOD как углы с соответственно параллельными сторонами.
ΔMKN – прямоугольный.
MN = = =5(см).
Ответ: 5 см.

A

B

C

D

O

M

N

K

Через точку М проведем MN || AD. BD ∩ MN = N.
2. ΔOMN – прямоугольный, OM = 6 см, ON = 8 см. Следовательно, MN = 10 cм (теорема Пифагора).
3. Проведем MK || ND. Продолжим AD до пересечения с MK. ΔMAK = ΔBOC (по I признаку), следовательно AK = = BC.
4. MKDN – параллелограмм, DK= MN = 10 см. Но
DK = AD+BC. Значит, средняя линия равна 5 см.
Ответ: 5 см.

A

B

C

D

M

K

O

N

Способ №5 Соединим середины сторон трапеции. Легко доказать, что MPNQ

– параллелограмм с прямым углом, т.е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ= 5 см (египетский треугольник).   Ответ: MN = 5 cм.

P

M

Q

N

3

4

ОС. Продолжим BD за точку D так, что DN =

BO. Итак, ΔOMN – прямоугольный с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора MN = 10 см. Проведем AE ┴ MN, DF ┴ MN, OK ┴ BC.   ΔAME = ΔKOC и ΔDFN = ΔBKO по стороне и двум прилежащим к ней углам.   Следовательно, ME = KC и FH = BK, т.е. MN = AD + BC = 10 (см).   Средняя линия равна (AD+BC)/2= =MN/2=10/2 = 5.   Ответ: 5 см.

O

M

E

F

N

АО = 6 – х, DO = 8 – y.

MN – средняя линия. 1.Из подобия ΔBOC и ΔAOD имеем: х/(6-х) = у/(8-у), 8х – ху = 6у – ху, 8х = 6у, у = 4/3х. 2. Из прямоугольного треугольника ΔBOC имеем: ВС = √ x²+ (4/3x)² = √ x² + 16/9x² = √ 25/9x² = 5/3x. 3.Из подобия ΔBOC и ΔAOD имеем: BC/AD = OC/AO, (5/3x)/AD = x/(6-x), AD = 5/3(6-x) = 10-5/3x. 4. MN = (AD + BC) = (5/3x+10-5/3x)/2 = 5 (см). Ответ: 5 см.

диагонали на отрезки, равные CO и BO.  3.Из ΔMON: MN =

10 см.  4. AOD подобен ΔMON; MN = 4/3 AD, AD = 3/4MN = =3/4*10 = = 7,5 (см).  5.В ΔBOC: BC = x²+(4/3x)² = 5/√3x.  6.ΔBOC подобен ΔAOD. BC/AD = OC/AO, (5/3x²)/7,5 = x/(6-x); 10x-5/3x² = 7,5x; 2,5x = 5/3x²; 7,5 = 5x; x = 1,5 (cм).  7. BC = 5/3x = 5/3*1,5 = 2,5 (см). 8. Средняя линия равна (AD+BC)/2 = (7,5+2,5)/2 = 5. Ответ: 5 см.  

M

N

y

x

6-x

8-y

O

, y =4/3 х.
2. Δ BOC – прямоугольный.
tg α =y/x

=4/3x : x = у =4/3 .
3. Найдем cos α либо по формуле:
1+tg²α = 1/cos a,
либо методом треугольника: cos α = 3/5.
4. Из ΔBOC:
OC/BC = cos α, BC = OC/cos α =4*5/3 = 5/3 x.
5. Из ΔAOD:
AO/OD = cos α, AD = AO/ cos α = (6-x)/3/5 = 5(6-x)/3 .
6. Средняя линия равна
(AD+BC)/2 = 5 (см).

AOD: x/(6-x) = y/(8-y), y =4/3x. x/(6-x) = b/a.   2. ax

= 6b – bx, (a+b)x = 6b, (a+b)/2 = 3b/x, (a+b)/2 = 3/sin α. tg α = x/y = x/(4/3x) = 3/4, α = arctg 3/4. 3. (a+b)/2 = 3/sin(arctg 3/4) = 3 / 3/5 = 5. 4. tg α = 3/4 sin α = ? sin α = 3/5

5

3

4

α