Правильные многоугольники

у которого все углы и все стороны равны;
познакомитесь с

выводом формулы для вычисления угла правильного n-угольника, а также сможете провести доказательство теоремы о центре правильного многоугольника и рассмотрите ряд полезных следствий из этой теоремы.

и все стороны равны. Некоторые правильные многоугольники вам уже известны,

например, равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке изображены правильные пятиугольник, шестиугольники восьмиугольник. Выведем формулу для вычисления угла аn правильного n-угольника. Т. к. сумма углов n-угольника равна (n-2)180°, причем все его углы равны по определению, то

Правильный многоугольник

точка, которая равноудалена от всех вершин и от всех сторон

правильного многоугольника.
Например, у равностороннего треугольника на рисунке такой точкой является центр вписанной и описанной окружности (это одна точка, т. к. у равностороннего треугольника все биссектрисы, медианы и высоты совпадают, следовательно, совпадают и точка пересечения биссектрис с точкой пересечения серединных перпендикуляров). Докажем, что центр существует у каждого правильного многоугольника.

Центр равностороннего
треугольника

вершин и от всех его сторон.
Теорема о центре
правильного

многоугольника

только одну.
Действительно, по доказанной теореме точка О равноудалена от всех

вершин A1,A2... ,An правильного n-угольника A1A2...An, т. е. ОА1=ОА2=ОАз=...=ОАn. Значит, около правильного многоугольника A1,A2... ,An можно описать окружность с центром в точке О пересечения биссектрис углов A1 и А2 и радиусом OA1.
Единственность такой окружности вытекает из единственности окружности, описанной около треугольника. Возьмем любые три вершины многоугольника A1A2...An, например A1, A2, А3. Т. к. ОА1=ОА2=ОА3, то окружность с центром в точке О и радиусом OA1 описана около треугольника A1A2A3, причем она единственна, т. к. около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Около любого правильного многоугольника
можно описать окружность, причем только
одну.

с центром O и радиусом ОН1, существуют еще одна вписанная

в n-угольник А1A2..Аn окружность с центром в точке O1, отличной от O. Но тогда ее центр O1 равноудален от сторон многоугольника, т. е. точка O1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, следовательно, совпадает с точкой O пересечения этих биссектрис. Кроме того, т. к. из одной точки O на каждую сторону n-угольника можно опустить только один перпендикуляр, то и радиус второй окружности совпадает с ОН1. Значит, вписанная в правильный многоугольник окружность только одна.

Следствия из теоремы

окружности.
Следствие 3. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника,

совпадает с центром вписанной в него окружности.
Это утверждение непосредственно вытекает из следствий 1 и 2.