Разделы презентаций


Выпуклые четырёхугольники. Специфика параллелограммов. Специфика трапеций 9 класс

Содержание

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1 ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые

четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций
Учитель математики высшей категории Сысуева Ольга

Александровна, ГБОУ СОШ№ 22 г.о. Чапаевск, Самарской области
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2)

Слайд 2Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус

угла между ними:

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

Слайд 4Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна

половине площади данного четырёхугольника.

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

Слайд 5
Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади

всех этих треугольников равны между собой.
Специфика параллелограмма

Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой.Специфика параллелограмма

Слайд 6
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его

cторон:
d12 + d22 = 2(a2 +b2)
Специфика параллелограмма

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его cторон: 					d12   + d22 =

Слайд 7Специфика параллелограмма

3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон

параллелограмма, перпендикулярны.

Специфика параллелограмма3.  Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны.

Слайд 8Специфика параллелограмма

При проведении биссектрисы любого угла
параллелограмма получается равнобедренный
треугольник.

Специфика параллелограммаПри проведении биссектрисы любого углапараллелограмма получается равнобедренныйтреугольник.

Слайд 9Специфика параллелограмма
Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Параллелограмм, диагонали

которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

3. Параллелограмм, диагонали которого являются

биссектрисами его углов, является ромбом.
Специфика параллелограммаПараллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 3. Параллелограмм,

Слайд 10Специфика параллелограмма
5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.
6. Параллелограмм, диагонали

которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.

Параллелограмм, имеющий равные высоты,

является ромбом.
Специфика параллелограмма5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.Параллелограмм,

Слайд 11Специфика трапеций
Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют
четыре треугольника, два из которых
равновелики,

а два других – подобны с
коэффициентом подобия равным отношению
оснований трапеции.

OAD~

OCB (по двум равным углам),
SOAD : SOCB = k2, где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.
Специфика трапецийДиагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которыхравновелики, а два других – подобны скоэффициентом подобия

Слайд 12Специфика трапеций
2. SBAD = SCAD, SABC = SDBC (как

площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты).

3. SOAB =

SOCD (т.к. SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD).

4. SBAD : SDBC = AD : BC (SBAD = 0,5·AD·h, SDBC = 0,5·BC·h).

Специфика трапеций2.  SBAD = SCAD, SABC = SDBC (как площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и

Слайд 13Специфика трапеций
5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так,

что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям,

равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S1S2 = S2.

(SOAD =S1=0,5·OB·OC·sin α, SOCB = S2 =0,5·OA·OD·sin α,
SOAB =S=0,5·OA·OB·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α,
SOCD =S=0,5·OC·OD·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, тогда S1S2 = S2).

Специфика трапеций5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые

Слайд 146. Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны
(следует

из того факта, что сумма этих углов равна 180° как

сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой.

Специфика трапеций

6.  Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны(следует из того факта, что сумма этих углов

Слайд 15Специфика трапеций
Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию.
Построение

1
Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её

боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.
Специфика трапецийОсновные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию.Построение 1 Через вершину меньшего основания трапеции провести

Слайд 16Специфика трапеций
Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию
Построение

2
Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую

CE, параллельную диагонали BD, до пересечения с AD в точке E; получится треугольник ACE, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции
AE = AD + DE.
При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE: SABCD = SACE
Специфика трапецийОсновные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапециюПостроение 2 Из вершины С меньшего основания трапеции

Слайд 17Специфика трапеций
Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию
Построение

4
Достроить трапецию ABCD до треугольника APD, вершина Р которого

образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции.


Построение 3
Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH1 и CH2.

Специфика трапецийОсновные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапециюПостроение 4 Достроить трапецию ABCD до треугольника APD,

Слайд 18Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.)
Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с

диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон

равны.
Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.)Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие

Слайд 19 Решение.

Точки K, Р, Т, Н середины сторон четырёхугольника ABCD.

Отрезки АС и ВD – диагонали четырёхугольника ABCD.
По условию КТ

= РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит,
SABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6.
Ответ: 6.

2. По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм.

Решение.Точки K, Р, Т, Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и ВD – диагонали четырёхугольника

Слайд 20Задача №2. (ФИПИ 2014г.)
На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка

К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь

параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD.
Задача №2. (ФИПИ 2014г.)На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в

Слайд 21Решение.
AВD = CDB (по трём равным сторонам).
SAВD = SCDB

= 0,5·SAВCD = =0,5·24=12; SКРB = SCDB

– SPKCD = 12 – 10 = 2

2. APD~ KPB (по двум равным углам); SAРD : SKPB = k2; AP=k·PK, DP=k·PB

3. AВP и ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAВP : SKPB = АP : PK = k (из п.2)

4. APD и ABP имеют общую высоту из вершины A, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAP D : SAВP = DP : PB = k (из п.2)

Решение.AВD = CDB (по трём равным сторонам). SAВD = SCDB = 0,5·SAВCD = =0,5·24=12;

Слайд 225. Из п.3 и п.1 SAВP = k·SKPB = 2k
6.

Из п.4 и п.5
SAPD = k·SABP = k·2k =

2k2

SABD = SAВP + SAPD = 2k + 2k2 .
Из п.1 следует 2k + 2k2 = 12.
Корни уравнения k2 + k – 6 = 0 числа –3 и 2;
по смыслу задачи k = 2.

8. SAPD = 2k2 = 2·22 = 8.

Ответ: 8.

5. Из п.3 и п.1 SAВP = k·SKPB = 2k6. Из п.4 и п.5 SAPD = k·SABP

Слайд 23Задача №3. (МИОО 2013г.)
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются

в точке О. Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно

16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.
Задача №3. (МИОО 2013г.)Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников OАD и

Слайд 24Решение.

По условию SOAD не равна SOCB , значит, AD и

BC – основания трапеции ABCD.
2. OAD~ OCB (по

двум равным углам), SOAD : SOCB = k2 =16:9, где k = 4:3 = OA:OC.
Решение.По условию SOAD не равна SOCB , значит, AD и BC – основания трапеции ABCD.2.

Слайд 254. SBAD = SCAD , т. к. эти треугольники

имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому

основанию, равны как высоты трапеции. Значит,
SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD , т. е. SOCD = SOAB = 12.

5. SAВCD = SOAD + SOCB + SOCD + SOAB =16 + 9 + 12 +12 = 49 cм2.

Ответ: 49 cм2.

4. SBAD = SCAD , т. к.  эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты,

Слайд 26Задача №4. (МИОО 2010г.)
Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции

MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её

боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если
MP=40 см, NK=24 см.
Задача №4. (МИОО 2010г.)Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции

Слайд 284. AB = 30 см.




Ответ: 30 см.

4. AB = 30 см. 					Ответ: 30 см.

Слайд 30 Решение.

1. Пусть точка F – точка пересечения

прямых CE и AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению

параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; SFCB = 0,5·SABCF
Решение.   1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD. Тогда ABCF –

Слайд 31 3. AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то

же основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит,


SАВЕ = 0,5·SABCF = SDCB = 15.
Ответ: 15.

2. SDCB = SFCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит,
SDCB = SFCB = 0,5·SABCF = 15.

3. AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую

Слайд 32Задача № 6 (МИОО 2013г.)
В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему

основанию BC.
К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь

трапеции ABCD равна 36.
Задача № 6 (МИОО 2013г.)В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC.К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь

Слайд 33Решение.


По свойству равнобедренной трапеции   AC=BD, следовательно, треугольники  ABC и DCB

 равны. Так как AB=BC=CD,  треугольники    ABC и DCB  равнобедренные,

следовательно,  BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит,  AH=HC=BE=ED.
Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.
Решение.По свойству равнобедренной трапеции   AC=BD, следовательно, треугольники  ABC и DCB  равны. Так как AB=BC=CD,  треугольники    ABC

Слайд 34Ответ: 9.

Ответ: 9.

Слайд 35Задача № 7.
Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины

оснований 2. Найдите площадь трапеции.
Решение. 1. Дополнительное построение: СМ

параллельна KL, CF параллельна BD.
2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC.
3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы
Задача № 7.Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции.Решение.  1.

Слайд 36Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF.
Тогда
SABCD =

0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = SACF=6.
Ответ: 6.

Полупериметр треугольника ACF

равен

Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF.ТогдаSABCD = 0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = SACF=6.Ответ:

Слайд 371. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5,

если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом

четырёхугольнике ABCТ длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру. Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны.

Слайд 384. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке

О. Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см2

и 16 см2. Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , если AD= =12 см, ВC=24 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельна BC, AD > BC) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD. Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC.

Задачи для самостоятельного решения

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников АOD и ВOC равны

Слайд 39 А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в

задачах».

Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, 2008.  И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013.  Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ  http://pedsovet.su/load/321  http://www.mathvaz.ru/  http://alexlarin.net/

Использованные источники

    А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в задачах».

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика