Гидродинамика

НАНОМАТЕРИАЛЫ»
Проф. А.С. Дмитриев
Центр высоких технологий и кафедра низких температур МЭИ
«Экономить

можно на всем, кроме фундамента…»

Основные проблемы гидродинамики – изучение течений в природных, технологических и

иных системах, получение комплекса данных о различных гидродинамических процессах, создание математических моделей течений и предсказание новых физических закономерностей при течении сплошных сред.

Они создали основы гидродинамики!!!

(например, He I)
Сверхтекучие (например, He II)
Нормальные (электронная жидкость в металле

при T>Tc)

Сверхпроводящие (электронная жидкость в металле при T

сжимаемые

– вязкостью, теплопроводностью и т.д.
Вязкая жидкость: пренебрегается всеми процессами

релаксации, кроме вязкости

линейная вязкость жидкость – закон
нелинейная вязкость

Вязкая теплопроводная жидкость: пренебрегается всеми процессами релаксации, кроме вязкости и теплопроводности

Последовательное усложнение моделей – нормальный процесс исследования природы
Но необходим принцип (бритва) Окама «не вводите сущностей без необходимости»

т.д.
Отсутствие диссипации энергии в жидкости означает, что нет теплопереноса

как между отдельными частями жидкости, так и между жидкостью и окружающей средой. Это в свою очередь означает, что движение происходит адиабатически в каждой части жидкости.
Адиабатичность означает, что энтропия каждой части жидкости остается постоянной при движении этой части:

Если в начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках, то она сохраняется во все последующие моменты времени во всех точках, так что можно записать:
s=const

Такое движение жидкости носит название изоэнтропийного.

1. Гидродинамика идеальной жидкости

атомы
- длина свободного пробега


Усреднение по физически бесконечно малому объему
Сплошная среда

переход к макроскопическим параметрам – скорости, давлению, плотности и т.п.

сплошной среды

1.2. Описание динамики – поля плотности, давления и скорости (гидродинамика)

Физически бесконечно малый объем – содержит большое число молекул, атомов, …

1.3. Описание термодинамики – уравнения, связывающие термодинамические параметры (например, плотность, давление и температуру)

Всего пять величин – функций точки пространства и времени (три компоненты скорости, плотность и давление) описываю полностью состояние в гидродинамике

Уравнение баланса:
Таким образом:
Откуда:
- уравнение неразрывности (непрерывности)

- 1783



Полная сила, действующая на некоторый объем V есть интеграл:
Таким

образом, сила, действующая на некоторый объем dV есть

Таким образом, изменение импульса элемента объема жидкости есть:

Полная производная в уравнении относится к перемещаемому объему жидкости, а не к точке. Переход к изменению скорости в точке можно произвести введением конвективной производной:

- 1783
Если жидкость находится в поле других объемных сил, то

имеем:

В частности, если жидкость находится в поле сил тяжести :

Или:

плотность;
давление.
Таким образом, эти пять скалярных функций должны определяться из

уравнения неразрывности, уравнения движения (Эйлера) и условия адиабатичности.
Уравнения требуют для своего однозначного разрешения граничных условий. Для идеальной жидкости единственным условием является невозможность движения перпендикулярно границам, что приводит к граничному условию на нормальную компоненту скорости жидкости:

Если имеются две несмешивающиеся жидкости (1 и 2), то на поверхности их раздела равны их нормальные компоненты скорости и выполняется равенство давлений:

однородном поле тяжести
Откуда:
Последнее уравнение описывает механическое равновесие жидкости

в поле сил тяжести. Если внешние силы вообще отсутствуют, то

Задача 1: показать, что при давление в жидкости есть

Задача 2: определить форму поверхности жидкости в поле тяжести в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью

(установившиеся) течения. В таких течениях в каждой точке пространства скорость

течения остается постоянной во времени. В этом случае

Тогда:

Воспользуемся теперь изоэнтропийностью течений. В этом случае можно записать для тепловой функции (энтальпии):

Отсюда:

Поэтому:

Используя соотношение векторного анализа:

которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный

момент времени – они определятся системой дифференциальных уравнений:

Даниил Бернулли
(1667-1748)

Если уравнение умножить на единичный вектор касательный к линии тока в каждой точке, то, поскольку градиент на некоторое направление равен производной, взятой по этому направлению, то (проекция равна нулю!)

течение жидкости происходит в поле сил тяжести (сила тяжести действует

вдоль направления z, то уравнение Бернулли будет иметь вид (задача: показать !):

сумма кинетической и внутренней энергии жидкости
Изменение со временем энергии есть:
Используя

уравнения неразрывности и движения, получаем:

Изменение внутренней энергии со временем можно найти из термодинамического соотношения:

Но энтальпия (тепловая функция) есть

Откуда:

выражение по объему:


- вектор плотности потока энергии
Абсолютная величина вектора плотности

потока энергии есть количество энергии, протекающей в единицу времени через единичную поверхность, расположенную перпендикулярно к направлению скорости

переносит при своем движении энергию w+v2/2. Факт, что переносится не

величина внутренней энергии, а тепловая функция связано со следующим обстоятельством. Если подставить
то полный поток энергии через замкнутую поверхность есть:


В этом выражении первый член есть энергия – кинетическая и внутренняя – непосредственно переносимая в единицу времени через поверхность, а второй член – работа, совершаемая силами давления над жидкостью, заключенной внутри поверхности

единичного объема жидкости. Будем пользоваться тензорными обозначениями.

Запишем уравнение неразрывности в форме

Уравнение Эйлера в форме

Тогда получим

Можно записать

физический смысл тензора Пik, проинтегрируем по некоторому объему:
Слева стоит

изменение в единицу времени i –компоненты импульса в объеме, а справа – количество импульса, протекающего в единицу времени через поверхность

есть i – я компонента импульса, протекающего через элемент поверхности

dS; записывая dSk=nkdS, то - поток i – ой компоненты импульса, отнесенный к единице площади поверхности.;
, величина – называют тензором плотности потока импульса;
Поток энергии (последняя – скалярная величина) – вектор, а поток импульса (последний – векторная величина) – тензор второго ранга;

L будем считать «жидким» - состоящим из частиц жидкости. Поскольку

частицы жидкости движутся, перемещается в жидкости и сам контур. Что происходит с циркуляцией скорости? Вычислим производную по времени (полная производная по времени означает, что изменение циркуляции скорости происходит в движущемся контуре:

Назовем эту величину циркуляцией скорости вдоль контура

Интеграл по замкнутого контуру от полного дифференциала!

),

имеем:

Откуда окончательно находим:

Или, окончательно:

Таким образом, в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной во времени (теорема Томсона, 1869) – закон сохранения циркуляции скорости

ТОМСОН (Thomson) лорд КЕЛЬВИН
1824- 1907 гг.

базе использования предположения об изоэнтропичности движения жидкости. Действительно, необходима однозначная

связь между . При изоэнтропическом движении эта связь определяется соотношением:

Если такой связи нет, то вектор может быть записан в виде градиента некоторой функции, что требуется для вывода теоремы Томсона.

Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру и преобразуя интеграл по теореме Стокса, получим:

Вектор носит название завихренности течения жидкости в данной точке.
Соотношение означает, что завихренность переносится вместе с идеальной жидкостью

класс течений в гидродинамике идеальной жидкости. Для стационарных течений жидкости

рассмотрим линию тока, в некоторой точке которой

Линия тока

Тогда

Таким образом, если в какой-либо точке линии тока завихренность отсутствует, то она отсутствует и вдоль всей этой линии
Движение жидкости, при котором во всем пространстве
называется потенциальным (или безвихревым)

Если же , то движение относится к классу вихревых.
Таким образом, стационарное обтекание всякого тела однородным потоком жидкости должно быть потенциальным

потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от

некоторого скаляра. Этот скаляр носит название потенциала скорости и вводится следующим образом:

В этом случае уравнение Эйлера в виде:

Может быть переписано с использованием потенциала скорости:

Откуда:

- первый интеграл уравнений потенциального течения жидкости

от времени, можно положить правую часть соотношения равной нулю
Если

имеет место стационарное течение (потенциал скорости не зависит от времени), то

Отсюда получаем уравнение Бернулли:

Замечание:
Отличие последнего уравнение от уравнения Бернулли состоит в том, что const в правой части последнего уравнения вдоль каждой линии тока, в случае же потенциального движения эта константа постоянна во всех точках жидкости. Отсюда столь важна роль уравнения Бернулли для потенциальных течений жидкости

жидкости можно считать постоянной (при гидродинамических течениях не происходит заметных

сжатий и расширений в жидкости). Такое движение носит название движение несжимаемой жидкости (или модель несжимаемой жидкости).
При этом общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются

Поскольку плотность не является теперь неизвестной функцией, то можно выбрать уравнения, содержащие только скорость:

более простом виде:
Для потенциального течения несжимаемой жидкости (ротор скорости равен

нулю) с использованием потенциала скорости, получаем:

- уравнение Лапласа для потенциала скорости

Это открывает возможности решения задач потенциальных течений несжимаемой жидкости на базе теорий функций комплексного переменного в двумерном случае (см. учебник Ландау Лифшиц. Гидродинамика. с. 39-48)

давления:
Согласно уравнению, колебания давления в стационарно движущейся жидкости – порядка

величины

Производная - квадрат скорости звука в жидкости c, откуда находим:

Жидкость можно считать несжимаемой, если

Отсюда необходимым условием несжимаемости жидкости является малость скорости ее движения по сравнению со скоростью звука:

- условие несжимаемости жидкости

условия.
Пусть - величины порядка масштабов изменения скорости

при нестационарном движении. Тогда сравним в уравнении Эйлера термы

Откуда:

В свою очередь, изменение плотности есть:

Из уравнения неразрывности, сравнивая термы , получаем:

Таким образом, нестационарное движение можно считать несжимаемым, если выполняются одновременно условия

и

приведены к виду для описания акустических явлений – гидродинамических движений

со сравнительно небольшой скоростью

Полагая, что , показать, что из приведенных уравнений следуют уравнения акустики

Волновое уравнение и оно имеет общие решения в виде волн, в общем случае – трехмерных

Задачи:

Найти общее решение для акустических волн (возмущений) в 1D-случае
Показать, что в случае плоских бегущих волн, энергия в звуковой волне есть